Интегрирование методом прямоугольников

Методы численного интегрирования в MathCAD. Методы численного интегрирования в MathCAD Методы численного интегрирования в MathCAD Теорию по численному интегрированию можно почитать, например,а в этой заметке займёмся реализацией в Маткаде основных методов численного интегрирования, которые чаще всего "проходят" в ВУЗах. Все рассмотренные ниже методы, в сущности, интегрирование методом прямоугольников собой похожи - если одномерный определённый интеграл есть площадь криволинейной трапеции под графиком: Одномерный определённый интегралто весь вопрос только в том, какой именно из простых зависимостей прямая, парабола и т. Ясно, что можно заменить интегрирование методом прямоугольников вот так: Простейшее "интегрирование" - интеграл как площадь прямоугольника :считая, что площадь жирного прямоугольника приблизительно равна искомой площади под кривой, но это будет очень уж неточно, поэтому отрезок интегрирования по оси x всегда разбивают на небольшие интервалы проще всего, с постоянным шагом h и находят значение интеграла как сумму площадей простых фигур, например, прямоугольников, нижняя сторона которых интегрирование методом прямоугольников h, а высота - интегрирование методом прямоугольников f xвзятому в некоторой точке интервала на рисунке - в серединах : Простейший "метод прямоугольников" Ясно, что погрешность уменьшится, но останется. Теперь от слов к Маткаду. В учебных целях выведем также "точное" значение искомого интеграла. Следует понимать, что "точное" оно лишь в кавычках, MathCAD-то искал его тоже численным методом. Численное интегрирование: определение тестовых данных Реализуем три основных метода прямоугольников. Разница между ними в том, в какой точке каждого отрезка на интервале интегрирования - левой, правой или в середине - берётся значение функции f x. Это всегда точнее, а интегрирование методом прямоугольников метод ещё достаточно прост. По-моему, близок к оптимуму при массовых расчётах. Метод трапеций в MathCAD Наконец, в методе Симпсона парабол функцию f x на каждом отрезке интегрирования заменяют параболой, то есть, кривой второго порядка. Расчёт становится сложнее, но точность повышается в разы. Для методов второго порядка точности средних прямоугольников, трапеций при уменьшении шага по x вдвое погрешность уменьшится примерно в 4 раза второй по h порядок точности и означает, что погрешность уменьшается пропорционально величине h 2. Следует помнить, что на дискретизации по оси x свет клином не сошёлся, существуют красивые альтернативные методы, скажем, : При многомерном интегрировании он становится, пожалуй, интегрирование методом прямоугольников. Приведу примеры для методов средних прямоугольников, трапеций и Симпсона, вроде бы, всё работает: Методы средних прямоугольников, трапеций и Симпсона - реализация без модульного интегрирование методом прямоугольников теги: 0 30.

См. также