Матрицы метод гаусса примеры

Хотите высказать своё мнение по изложенному материалу? В конце каждой статьи доступны комментарии, в которых можно оставлять матрицы метод гаусса примеры или пожелания. Также Ваши предложения или замечания можно отправлять на. » » Метод Гаусса Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса является одним из самых наглядных и простых способов решения СЛАУ : как однородных, так и неоднородных. Коротко говоря, суть данного метода состоит в последовательном исключении неизвестных. Теоретические основы метода Гаусса изложены, например, в книге Куроша «Курс высшей алгебры» стр. Здесь же мы разберем реализацию метода Гаусса на примерах различных СЛАУ. Преобразования, допустимые в методе Гаусса: Смена мест двух строк; Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель. Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю. Насчет последних двух пунктов: повторяющиеся строки можно вычёркивать на любом этапе решения методом Гаусса, — естественно, оставляя при этом одну из них. Нулевые строки убираются из расширенной матрицы системы по мере их появления. Отмечу, матрицы метод гаусса примеры можно менять местами и столбцы матрицы системы, хоть матрицы метод гаусса примеры это преобразование нечасто. О матричной форме записи СЛАУ можно прочесть. Решение Это вводный пример, матрицы метод гаусса примеры котором поясняются самые простые понятия, лежащие в основе метода Гаусса. В следующем примере применение метода Гаусса будет разобрано пошагово. Системы с двумя уравнениями и двумя переменными изучаются в школьном курсе математики, где для их решения применяются методы подстановки и сложения. Метод Гаусса, по сути, и представляет собой матрицы метод гаусса примеры метод сложения. Заметьте, первое уравнение системы мы не изменяли. Вычтем из первого уравнения матрицы метод гаусса примеры уравнение, предварительно умноженное на 2 т. Запишем то же решение, но уже без промежуточных пояснений. Гораздо удобнее работать с матричной формой матрицы метод гаусса примеры. Когда мы вычитаем или складываем уравнения, то, по сути, мы складываем или вычитаем строки этой матрицы. Обратите внимание, что от матричной формы записи всегда можно перейти к уравнениям и наоборот. Для самой системы это означает, что первое и третье уравнение поменяли местами: естественно, решение системы от этого не изменится. Примечание Вообще, менять местами строки расширенной матрицы матрицы метод гаусса примеры можно на любом этапе решения методом Гаусса. При необходимости можно менять местами столбцы матрицы системы, однако нужно помнить, что при этом меняется порядок расположения переменных в уравнениях. Например, если мы меняем местами пятый и седьмой столбцы матрицы системы, это означает, что пятая и седьмая переменные вместе со своими коэффициентами поменялись местами во всех уравнениях заданной СЛАУ. Метод Гаусса работает в два этапа: прямой ход и обратный. В предыдущем примере внимание на этом не акцентировалось, ибо пример был тривиальным, но во всех остальных примерах каждый матрицы метод гаусса примеры будет рассмотрен пошагово. Прямой ход метода Гаусса имеет своей целью приведение матрицы системы к. Есть ли решения у системы система совместна или же решений нет система несовместна выяснится именно здесь, в конце прямого хода метода Гаусса. Для матричной формы записи это означает обнуление элементов первого столбца, лежащих под первой строкой. Эти элементы матрицы метод гаусса примеры на рисунке серым цветом. А элемент, который будем использовать для обнуления, выделен красным цветом: Мы станем изменять строки расширенной матрицы системы. Цель этих изменений: получить нули вместо "серых" элементов. Если выполнение подобных операций в уме затруднительно а поначалу именно так и бываетто выпишите изменяемые строки отдельно. Например, так: Требуемые преобразования строк осуществлены, осталось лишь записать их в новую матрицу. Второй шаг На втором шаге прямого хода нужно обнулить элементы второго столбца расположенные под второй строкойиспользуя вторую строку. А использовать для обнуления будем элемент, выделенный красным. Это путь классического метода Гаусса, и если бы коэффициенты системы не были целыми числами, мы пошли бы именно этим путём. Однако коэффициенты нашей системы — целые числа, поэтому переход к дробям можно отложить или вообще избежать работы с дробями. Скажу так: выбор способа в каждом конкретном случае остаётся на усмотрение решающего. Отмечу, что во всех учебных задачах коэффициенты систем целочисленны, поэтому в примерах на данной странице мы будем выбирать второй путь, ибо он позволяет избежать действий с дробями. Матрица системы матрица слева от разделительной черты стала все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Найдём это решение, используя обратный ход метода Гаусса. Замечу, что некоторые авторы комбинируют способы записи метода Гаусса, осуществляя прямой ход в форме матричной записи, а обратный ход — записывая уравнения. Мне эта комбинация разных форм записи представляется бессмыслицей, ибо матричная форма записи вполне удобна и наглядна. Полагаю, тут может возникнуть один вопрос, который я запишу ниже: Что делать, если нужный для обнуления элемент сам равен нулю? Но второй элемент второй строки равен нулю! Как же её использовать? Ответ тут довольно прост. Вам мешает ноль во второй строке? Первую строку трогать нельзя, ибо её уже использовали на первом шаге. Поменяем местами, например, вторую и третью. Для более полного освоения матрицы метод гаусса примеры можете попробовать найти решение подобной СЛАУ самостоятельно. Если не менять местами строки или столбцы, то решение будет таким: Решение: Если же поменять местами первый и второй столбцы матрицы системы чтобы первым элементом первой строки стала единицато решение будет таким: Решение: Так как мы меняли местами первый и второй столбцы т. Матрицы метод гаусса примеры ход метода Гаусса Первый шаг Обнуляем элементы первого столбца под первой строкойиспользуя первую строку. Первым элементом четвертой строки уже является ноль, поэтому четвертую строку изменять не будем. Вычеркнем одну из них. Если бы мы сейчас не заметили повтор строки, то впоследствии эта строка стала бы нулевой. Второй шаг Обнуляем элементы второго столбца под второй строкойиспользуя вторую строку. В любом случае мы добъёмся цели: обнулим элементы второго столбца под второй строкой. Согласнотакая система имеет единственное решение т. Найдем это решение с помощью обратного хода метода Гаусса. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, т. Полученное противоречие указывает на отсутствие решений. Ответ: система несовместна не имеет решений. В случае совместности системы найти ее решение методом Гаусса. Можем их убрать, как в предыдущих примерах, однако данное действие не является обязательным. Если не убрать повторяющиеся строки, то получим нулевые строки в конце прямого матрицы метод гаусса примеры метода Гаусса. Чтобы это продемонстрировать, я не стану убирать повторяющиеся строки и продолжу решение. Третий шаг Обнуляем элементы третьего столбца под третьей строкойиспользуя третью строку: Мы привели расширенную матрицу системы к трапециевидной форме. Ранг расширенной матрицы системы равен трем, ранг матрицы системы также равен трем. Подробно о решении таких систем можно почитать в теме. Очень советую в упомянутой теме хотя бы бегло глянуть на картинки с "ступеньками", — тогда вам будет ясен способ выбора базисных переменных, который будет использован далее. Мне кажется более удобным продолжить решение в матричной форме записи. У нас есть три независимых уравнения, содержащие пять неизвестных. В случае совместности системы найти ее решение методом Гаусса. Прямой ход метода Гаусса Итак, ранги расширенной матрицы и матрицы системы равны между собой, но меньше, нежели количество неизвестных, т. Согласноданная система является неопределённой т. Решение Этот пример я поместил с одной целью: рассмотреть ситуацию, когда нужный для обнуления элемент равен нулю. При этом смена мест строк ничего не даёт, ибо все элементы обрабатываемого столбца, расположенные ниже, тоже равны нулю. Но второй элемент второй строки равен нулю! И менять местами строки бессмысленно, ибо первую строку трогать нельзя мы уже её использовали на первом шагеа все остальные строки тоже начинаются с двух нулей. В этой ситуации нет ничего страшного. Просто переходите к следующему столбцу и всё.

См. также