Множество целых неотрицательных чисел и его свойства

Основные понятия математики Множество как основное понятие математики: пересечение, разность, разбиение и произведение. Простые и составные высказывания. Структура и виды теоремы. Сложение и вычитание, умножение и деление в количественной теории целых неотрицательных чисел. Рубрика: Вид: шпаргалка Язык: русский Дата добавления: 19. Используйте форму, расположенную ниже. Название работы: E-mail не обязательно : Ваше имя или ник: Файл: Cтуденты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны Подобные документы 1. Сложение и умножение целых p-адических чисел, определяемое как почленное сложение и умножение последовательностей. Кольцо целых p-адических чисел, исследование свойств их деления. Объяснение данных чисел с помощью ввода новых математических объектов. Множество: понятие, элементы, примеры. Разность двух множеств, их пересечение. Множество действительных, рациональных, иррациональных, целых и натуральных чисел, особенности изображения их на прямой. Общее понятие о взаимно однозначном соответствии. Понятие множества, его трактование Георгом Кантором. Виды множеств, способы их задания. Операции над множествами пересечение, объединение, разность и дополнениеусловия их равенства и основные свойства, отношения. Содержание математики как системы математических моделей инструментов для их создания. Натуральные числа, множество целых чисел, рациональное число, вещественное или действительное число. Многочлен как сумма или разность одночленов. Запись многочлена в стандартном виде. Операции при сложении и вычитании многочленов. Умножение многочлена на одночлен. Деление многочлена на одночлен. Разложение многочлена на множители, метод группировки. Множество неотрицательных действительных чисел как интерпретируемое подмножество Делимость в мультипликативных полугруппах. Строение числовых НОД и НОК полугрупп. Изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1. Построение подмножеств и диаграмм Венна по заданному универсальному множеству и его составляющим. Сложение, вычитание и транспонирование матриц. Метод понижения порядка и приведения системы к треугольному виду. Методы Крамера, Гаусса и матричный способ. Свойства действительных чисел, их роль в развитии математики. Анализ построения множества действительных чисел в историческом аспекте. Подходы к построению теории действительных чисел по Кантору, Вейерштрассу, Дедекинду. Их изучение в школьном курсе. Проблема решения множество целых неотрицательных чисел и его свойства в целых числах: от Диофанта до доказательства теоремы Ферма. Сущность теоремы о делимости данного числа на произведение двух взаимно простых чисел, особенности ее множество целых неотрицательных чисел и его свойства к решению неопределенных уравнений в целых числах. Раздел математики, непосредственно относящийся к задачам физической инженерной практики. Элементы векторной и линейной алгебры; описание множество целых неотрицательных чисел и его свойства выполнения различных операций над векторами: сложение, вычитание, геометрически смешанное произведение. Множество Множество - является основным понятием математики. Впервые это понятие было введено в 19 веке немецким математиком Георгом Каптером. Он дает определение множеству. Множество есть многое мыслимое нами как единое. Понятие о множестве возникло как абстракция факта, что предметы окружающей действительности встречаются не столько обособленно друг от друга, сколько в совокупности. Множество является неопределенным понятием. Это основное начальное понятие а математике. Любое множество обозначается заглавными буквами А,В,С. Объекты любой природы, из которых состоит множество, называются элементами данного множества. Множество считается заданным, если о любом его объекте можно сказать: множество целых неотрицательных чисел и его свойства этому множеству» или «не принадлежит этому множеству». Если элемент принадлежит множеству а? А, если нет - в? Множества бывают конечные и бесконечные. Конечные множества состоят из определенного числа элементов. Это множество целых неотрицательных чисел и его свойства можно перечислить. Элементы бесконечного множества перечислить нельзя. Бесконечное множество задается только характеристическим свойством. Множество не содержащее ни одного элемента называется пустым множеством. Универсальное множество - множество, по отношению к которому все остальные множества являются подмножеством, т. Множество называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества Также говорят, что множество В включено в множество А 4 два множества равны. Множества называются равными или совпадающими. Если каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот. Пустое множество является подмножеством любого множества. Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству Пересечение двух множеств множество высказывание теорема неотрицательный Пересечением двух множеств А и В называется множество С, множество целых неотрицательных чисел и его свойства все элементы, которые принадлежат и множеству В одновременно. А · ассоциативное свойство: А? С · закон поглощения: А? Разность между множествами Разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству Если множество В является подмножеством множества А, то разность между множествами А и В называется дополнением множества В до множества Число элементов в объединении двух конечных множеств и число элементов в дополнении к подмножеству Мощностью множества называется число или количество элементов в данном множестве. Обозначение п Ачитается «эн от А». Если множества не пересекаются. Число элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств равно сумме численности этих множеств. Число элементов объединения двух конечных пересекающихся множеств равно разности между суммой численности этих множеств и численности пересечения данных множеств. Число множество целых неотрицательных чисел и его свойства дополнения конечного множества А до конечного множества В равно разности численности этих множеств. Разбиение множества на классы Рассмотрим на примере. Пусть задано множество М множество выпуклых многоугольниковобразуем все подмножества данного множества: А1 - множество треугольников; А2 - множество четырехугольников; А3 - множество пятиугольников; Ак - множество к-угольников. Множество М считается разбитым на множество целых неотрицательных чисел и его свойства, если выполняются следующие условия: 1. Отношение на множестве Х называется эквивалентным, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. На графе такого отношения есть петли, взаимно обратные множество целых неотрицательных чисел и его свойства и треугольные стрелки. Отношение эквивалентности, и только оно, связано с разбиением множества на классы. Это утверждение можно сформулировать в виде теоремы: если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то это отношение разбивает множество Х на классы, и наоборот, если множество Х разбито на классы, то на заданном множестве выполняется отношение эквивалентности. Пусть задано отношение - жить в одном доме. Покажем, что множество жильцов в доме будет разбито на классы. А каждый класс, это отдельная квартира. Для данного разделения будут выполняться все необходимые условия разбиения множества на классы: а каждый класс не пуст, т. Декартово произведение множеств Для введения понятия декартово произведение множеств рассмотрим понятие кортежа. Это понятие, как и понятие множество, является основным неопределенным понятием. Для кортежа важен порядок следования элементов. Элементы в кортеже могут повторяться. Число элементов в заданном кортеже называется его длиной. Кортеж длины 2 называется упорядоченной парой. Ч - обозначение декартового произведения множеств. Декартовым произведением множеств А и В называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар, в которых первая компонента является элементом первого множества, а вторая компонента элементом второго множества. ДПМ не обладает свойством коммутативности и ассоциативности: АЧВ? Выполняются свойства дистрибутивности ДПМ:1 относительно объединения множеств АЧ В? АЧС ; 2 относительно пересечения множеств АЧ В? Чтобы найти число элементов в ДП в двух и более множеств нужно знать число элементов в каждом множестве. Если число элементов равно n. Соответствие между элементами двух множеств Соответствием эф между элементами множеств Х и У называют тройка множеств Х;У; джи эфджи от эф это подмножество ДП. Множество Х называется областью отправления, множество У называется областью прибытия джи от эф - называется графиком данного соответствия. Областью определения соответствия эф называется множество тех элементов первого множества т. Множеством значения соответствия эф называется множество элементов области прибытия, которым поставлены в соответствие некоторые множество целых неотрицательных чисел и его свойства области отправления. Способы задания соответствий: перечисление его элементов, с помощью графика, с помощью графа, при помощи таблицы, словесно, алгебраически, т. Соответствия называются всюдуопределенным, если область отправления совпадает с областью определения. На графе такого соответствия от каждого элемента первого множества отходит хотя бы одна стрелка. Соответствие называется сюръективным, если его множество значений совпадает с областью прибытия. На графе такого соответствия к каждому элементу 2-ого множества подходит хотя бы 1 стрелка. Соответствие называется инъективным, если никаким разным элементам 1-ого множества не соответствует один и тот же элемент 2-го множества. На графе такого соответствия ни к какому элементу 2-го множества не подходит более 1 стрелки. Множество целых неотрицательных чисел и его свойства называется функциональным, если к каждому элементу 1-го множества соответствует не более 1 элемента 2-го множества. На графе такого соответствия от каждого элемента 1-го множества, если будет отходить, то только 1 стрелка. Функциональное соответствие называется функцией. Среди всех функциональных соответствий выделяют всюдуопределительные соответствия, которые называют отображением. Соответствие называется взаимнооднозначным, если выполняются условия: 1 любым двум различным элементам множества Х соответствуют различные элементы множества У, 2 любому элементу множество У соответствует хотя бы один элемент множества Два соответствия между множествами Х и У называются противоположными, если их графики взаимно дополняют декартово произведение Х на Соответствие называется обратным к данному соответствию, если данное соответствие выполняется в том и только том случае, когда выполняется обратное. Если данное соответствие есть подмножество декартова произведения множеств Х и У, то обратное соответствие - это подмножество декартового произведения множеств Х и Чтобы получить соответствие обратное данному. На его графе необходимо поменять направление стрелок. Отношения на множестве Отношение - это соответствие, заданное между элементами одного и того же множество целых неотрицательных чисел и его свойства. Соответствие, заданное между равными множествами называется бинарным отношением. Х, а R а, где R - находиться в отношении. На графе такого множество целых неотрицательных чисел и его свойства от каждого элемента будет отходить петля. На графе такого отношения два элемента будут соединены взаимно обратной стрелкой. На графе такого отношения три элемента связаны треугольной стрелкой. На графе такого отношения есть петли, взаимно обратные стрелки и треугольные стрелки. Отношение эквивалентности, и только оно, связано с разбиением множества на классы. Это утверждение можно сформулировать в виде теоремы: если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то это отношение разбивает множество Х на классы, и наоборот, если множество Х разбито на классы, то на заданном множестве выполняется отношение эквивалентности. Пусть задано отношение - жить в одном доме. Покажем, что множество жильцов в доме будет разбито на классы. А каждый класс, это отдельная квартира. Для данного разделения будут выполняться все необходимые условия разбиения множества на классы: а каждый класс не пуст, т. Например: отношение «больше, меньше». Множество, на котором задано отношение строгого порядка, называется упорядоченным множеством. Если отношение порядка обладает свойством связности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка. Отношение называется связанным на множестве Х, если для любых элементов х и у выполняется условие: из того, что х? Если на множестве задано отношение линейного порядка, то оно линейно упорядочивает данное множество. Соответствие называется функциональным, если к каждому элементу 1-го множества соответствует не более 1 элемента 2-го множества. На графе такого соответствия от каждого элемента 1-го множества, если будет отходить, то только 1 стрелка. Функциональное множество целых неотрицательных чисел и его свойства заданное на числовом множестве называется числовой называется функцией. График четной функции симметричен относительно оси ОУ, множество целых неотрицательных чисел и его свойства четной - симметричен относительно начала координат. К периодичным относятся все тригонометрические функции синус, косинус, тангенс. Это точки пересечения с осями координат и точки экстремумов, т. Понятие, объем и содержание понятий, определение понятий Математика как и другие науки использует понятийный аппарат. Термин «понятие» применяется для обозначения целого класса объектов любой природы. Которые обладают одним или некоторыми характеристическими свойствами, т. Понятие часто отожествляется со словом множество целых неотрицательных чисел и его свойства со словосочетанием, которые фактически и обозначают данный класс объектов. При написания понятий, их обозначают маленькими буквами, как и элементы множеств. Множества объектов, которые можно назвать данным словом называют объемом понятия. Встречаются единичные понятия, равные 1, а также конечные и бесконечные понятия. К единичному понятию относится цифра. Понятие многоугольника имеет бесконечный объем. Существуют понятия носящие всеобщий характер. Им трудно дать определения, их называют категориями. Множество всех свойств, каждое множество целых неотрицательных чисел и его свойства которых присуще только элементам а из множества объемов множество целых неотрицательных чисел и его свойства А, называется содержанием этого множество целых неотрицательных чисел и его свойства. Для треугольников в содержание понятия будут входить такие свойства: иметь 3 угла, иметь 3 стороны. Определить понятие, значит дать способ, позволяющий отделить объекты, охватываемые данным понятием, от всех других понятий. Различают вербальные словесные и не вербальные способы определения понятий. Не вербальные определение - это определение значения слов путем непосредственной демонстрации предметов или указания части текста, в котором применяется то или иное слово. Не вербальное определение может быть остенсивным или контекстуальным. Остенсивные определения даются с помощью показа предмета или демонстрации объекта. Контекстуальное определение дается по ходу контекста или части текста часто используется в начальных классах. Например: чтобы определить, что значит «больше», дается пояснение «больше на 3» - это столько же и еще 3. В математике как и в других науках используется определение неизвестных понятий через известные. Такое определение называется вербальным. К вербальным относятся определения через род и видовые отличия, а также генетические и рекурсивные определения. Определение понятия через род и видовые отличия заключаются в следующем: в данных определениях выделяется опорное, исходное понятие, а затем указываются свойства, которые присущи только данному понятию. Например: прямоугольник - это множество целых неотрицательных чисел и его свойства, у которого все углы прямые. В данном определении исходное понятие - четырехугольник, его называют родовым понятием. Свойство, которое присуще только прямоугольникам - иметь все углы прямые, называется видовым отличием. Одно и то же понятие можно определить, используя различные родовые понятия и указав видовые отличия. Генетические определения являются частным случаем определения через род и родовые отличия. В них вместо видовых свойств указывается происхождение или способ построения. Например: угол - это фигура, образованная лучами, исходящими из множество целых неотрицательных чисел и его свойства точки. В этом примере понятие фигура является родовым и вместо видовых отличий, дан способ образования этой фигуры. В данных определениях указываются некоторые основные базисные элементы определяемого множества и правила, позволяющие получить новые элементы данного множества. Высказывания Повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно называется высказыванием. Вопросительные и восклицательные предложения к высказываниям не относятся. Высказывания обозначают заглавными буквами, как множества. Высказывания могут быть простыми и составными. Простые высказывания - это такие, которые не состоят из других высказываний. Составные можно разбить на другие, причем эти составляющие соединены логическими союзами и, или, если, то, либо, неверно что, хотя бы одно из. Два высказывания называются равносильными или эквивалентными, если всегда, когда истинно одно высказывание, истинно и другое. Понятие предиката высказывательная форма. Предикаты по форме построения похожи на высказывания, но ими не являются, т. Предложение с одним или несколькими переменными, обращающиеся в высказывания при подстановке вместо переменных их значений, называется предикатом или высказывательной формой. Предикаты, имеющие одну переменную, называют - одноместным, две переменной - двуместным и т. Один и тот же предикат, при подстановке в него значения переменной, принимает только одно значение или истинно, или ложно. Множество Х, на котором задан предикат, называется областью определения предиката. Область определения предиката делится на два подмножества: 1 - область истинности предиката ИА х или ТА х - это множество тех значений переменных, которые обращают предикат в истинное высказывание. Добавление к предикату квантора называется операцией навешивания квантора. Навешивание квантора всегда обращает предикат в высказывание. Предикат «х больше 5» обратится в высказывание, если добавим квантор существования - существует х больше 5. Конъюнкцией двух предикатов G х и Р х называется предикат, область истинности которого равна пересечению областей истинности данных предикатов. Импликацией двух предикат Р х и В х есть предикат, область которого равна объединению областей истинности предиката и В х. Если задано высказывание, то отрицание этого высказывания можно сформулировать следующим образом: «не верно, что». Если заданное высказывание истинно, то отрицание его всегда ложно и наоборот. Составное высказывание А и В, в котором используется логический союз «и», называется конъюнкцией высказывания и записывается следующем образом:. Конъюнкцией двух высказываний называется высказывание А и В, которое истинно тогда и только тогда, когда истины оба высказывания, и ложно тогда и только тогда, когда хотя бы одно высказывание ложно. Конъюнкция данного высказывания и его отрицание всегда ложна. Дизъюнцией двух высказываний А и В называется высказывание С, которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно, и ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Свойство дизъюнции: · коммутативное · ассоциативное · дистрибутивное · закон поглощения · Закон исключенного третьего И означает, что утверждение выполняется, если выполняется хотя бы одно из высказываний. Высказывание А или отрицание высказывания А всегда истинно, какое бы высказывание А мы не рассматривали. В множество целых неотрицательных чисел и его свойства это часто встречается при разборе каких-то взаимно исключающих друг друга случаях. Например: при решении квадратных уравнений разбираются два случая: дискриминант больше или равно 0; дискриминант меньше 0. Если обозначить каждый случай за высказывание, то первое высказывание А, а второе - отрицание Поскольку других случаев А и А- не существует, задача о решении квадратного трехчлена и разложение его на линейные множители либо решается, когда А - истинно, или не решается, когда истинно отрицание Отрицанием множество целых неотрицательных чисел и его свойства двух высказываний будет конъюнкция отрицаний этих высказываний. Повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно называется высказыванием. Вопросительные и восклицательные предложения к высказываниям не относятся. Высказывания обозначают заглавными буквами, как множества. Высказывания могут быть простыми и составными. Простые высказывания - это такие, которые не состоят из других высказываний. Составные можно разбить множество целых неотрицательных чисел и его свойства другие, причем эти составляющие соединены логическими союзами и, или, если, то, либо, неверно что, хотя бы одно из. Два высказывания называются равносильными или эквивалентными, если множество целых неотрицательных чисел и его свойства, когда истинно одно высказывание, истинно и другое. Понятие предиката высказывательная форма. Предикаты по форме построения похожи на высказывания, но ими не являются, т. Предложение с одним или несколькими переменными, обращающиеся в высказывания при подстановке вместо переменных их значений, называется предикатом или высказывательной формой. Предикаты, имеющие одну переменную, называют - одноместным, две переменной - двуместным и т. Один и тот же предикат, при подстановке в него значения переменной, принимает только одно значение или истинно, или ложно. Множество Х, на котором задан предикат, называется областью определения предиката. Область определения предиката делится на два подмножества: 1 - область истинности предиката ИА х или ТА х - это множество тех значений переменных, которые обращают предикат в истинное высказывание. Добавление к предикату квантора называется операцией навешивания квантора. Навешивание квантора всегда обращает предикат в высказывание. Предикат «х больше 5» обратится в высказывание, если добавим квантор существования - существует х больше 5. Конъюнкцией двух предикатов G х и Р х называется предикат, область истинности множество целых неотрицательных чисел и его свойства равна пересечению областей истинности данных предикатов. Импликацией двух предикат Р х и В х есть предикат, область которого равна объединению областей истинности предиката и В х. Если задано высказывание, то отрицание этого высказывания можно сформулировать следующим образом: «не верно, что». Если заданное высказывание истинно, то отрицание его всегда ложно и наоборот. Импликацией двух высказываний А и В называется высказывание «если А, то В», которое ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе - ложно. Множество целых неотрицательных чисел и его свойства остальных случаях импликация истина. В импликации связка «если А, то В» не означает ни каких причинно-следственных связей. Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание «А если и только если В», которое истинно тогда т только тогда, когда оба высказывания истины или оба высказывания ложно. В остальных случаях эквиваленция ложна. Свойство эквивалентности: Высказывание с кванторами их отрицание. Предложение, которое содержит слова «любой, всякий, все, существует, некоторые», называется высказывание с кванторами. Слова «любой всякий, все» называются квантором общности и обозначают. Слова «существуют, найдется, для некоторых» называются квантором существование и обозначают. Чтобы построить отрицание высказывания с квантором общности нужно квантор общности заменить на квантор существования, а высказывание А на его отрицание. Чтобы построить отрицание высказывания с квантором существования нужно заменить квантор существования на квантор общности, а высказывание А на его отрицание. Построим отрицание этого высказывания: «существуют ученики в классе, которые не занимаются теннисом». Виды теоремы Теорема - это высказывание, истинность которого необходимо доказать. С логической точки зрения теорема это высказывание вида : А х В х. В теореме можно выделить 3 части: 1 преамбула. В ней описываются множества, относительно которых задана теорема. Это области определения высказывания А и высказывания Это предложение А или то что дано в теореме. Это предложение В или то что нужно доказать в теореме. Различают 4 вида теорем: 1. Данная теорема - А х В х если А, то Например: вертикальные углы равны. Если углы вертикальные, то они равны. Теорема обратная данной - В х А х если В, то Например: если углы равны, то они вертикальные данная теорема - ложна. Теорема противоположная данной. Если углы не вертикальные, то они не равны данная теорема ложна. Теорема противоположная обратной - и. Если углы не равны, то они не вертикальные. Из истинности данной теоремы не следует истинность обратной и противоположной данной теорем. Для каких бы теорем мы не формулировали теорему противоположную обратной, она всегда будет истинной. Эту равносильность называют законом контропозиции. Согласно этому закону, вместо данной теоремы можно доказывать теорему противоположную данной. И это доказательство называется доказательством от противного. Если дана теорема из А х В хто в этом случае А х является достаточным условием для В, а В х необходимым условием для Если А является необходимым и достаточным условием для В, то в этом множество целых неотрицательных чисел и его свойства одновременно истины два высказывания - из А следует В из В следует Если высказывание А необходимо и достаточно для В, то говорят, что А и В равносильны. В любом утверждении о необходимости и достаточности содержатся два независимых друг от друга высказывания. Поэтому, если мы хотим доказать такое утверждение, то сначала доказывается достаточность, а затем необходимость. Н-р: для того чтобы прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы перпендикуляр, проведенный к одной из них, был перпендикулярен ко второй прямой. В данной теореме два высказывания: 1 если прямые параллельны, то перпендикуляр, проведенный к одной из них, является перпендикуляром к другой прямой это необходимость. Для доказательства теоремы в целом следует сначала доказать достаточность достаточное условиеа затем необходимость необходимое условие. Теоретико-множественный подход к построению теории целых неотрицательных чисел. Два множества А и В называются эквивалентными или равномощными, если между ними множество целых неотрицательных чисел и его свойства установить взаимнооднозначное соответствие, т. Мощность или кардинальное число - это такое свойство, которое присуще любому множеству В, равномощному множеству А и не присуще ни какому другому множество целых неотрицательных чисел и его свойства не равномощному множеству Отношение равномощности является отношением эквивалентности, т. Отношение равномощности разбивает множество всех множеств на классы эквивалентности. Для определения множество целых неотрицательных чисел и его свойства натурального числа и нуля рассмотрим разбиение всех конечных множеств. Пусть М это множество всех конечных множеств. Множество М может содержать и другие подмножества К различной природы, которые состоят из равномощных множеств. У каждого класса эквивалентности К есть общее то, что они состоят из одинакового количества элементов, других общих свойств нет. Целое неотрицательное число с теоретико-множественной точки зрения, есть общее свойство класса конечных равномощных множеств. Натуральное число есть общее свойство класса не пустых конечных равномощных множеств. Каждому классу приписывается кардинальное число мощность. Классу пустое множество приписывается кардинальное число 0. Классу состоящему из множеств, имеющих 1 элемент приписывается число1. Классу, состоящему из множеств, имеющих 2 элемента приписывается число 2. Теорема: отношение равенства во множестве целых неотрицательных чисел является отношением эквивалентности. Множество целых неотрицательных чисел и его свойства, что отношение равенства обладает свойствами симметричности, транзитивности и рефлексивности. Известно, что любое множество равномощно самому себе. Множество целых неотрицательных чисел и его свойства А и В такие, что А~В, т. Дано: А, В, С, где А~В и В~С. Теорема: отношение меньше во множестве целых неотрицательных чисел является отношением строго порядка. Доказательство: Докажем, что отношение меньше обладает свойствами анти симметричности и транзитивности. ВВ1, то n В n В1 вв1. Во множестве С1 можно выделить такое подмножество С2, которое будет равномощно подмножеству В1 и соответственно равномощно Сложение и вычитание в количественной теории целых неотрицательных чисел Их свойства. Суммой двух целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотрицательное число с, которое является мощностью объединения двух непересекающихся множеств А и В, мощности которых соответственно равны а и в. Сложение во множестве целых неотрицательных чисел всегда существует и определяется единственным образом. Докажем, что сумма всегда существует. Рассмотрим А и В, такие, что их пересечение пустое множество и число элементов А есть а, а мощность В есть - в. Так как объединение двух непересекающихся множеств всегда существует, а значит существует и сумма, а из определения суммы следует, что сложение всегда существует. Докажем, что множество целых неотрицательных чисел и его свойства определяется единственным образом. Существует С1 и С2 - неотрицательные целые числа. Сумма чисел а и множество целых неотрицательных чисел и его свойства не зависит от того, какие множества А и В мы выбрали из класса равномощных множеств, а следовательно и объединение А и В, взятых из класса равномощных множеств не зависит от выбора множеств А и В, т. Если равны множества, равны их численные значения. Из теории множеств знаем, что мощность объединения равна сумме мощностей. Для того чтобы разность целых неотрицательных чисел существовала, необходимо и достаточно, чтобы а было больше или равно в. Докажем: 1 достаточное условие существования разности. По определению разности следует, что существует дополнение множества В до множества А, и множество целых неотрицательных чисел и его свойства дополнение имеет мощность, которую можно найти из равенства, известного из теории множеств. Из того, что В является подмножеством А следует, что число элементов в В меньше числа элементов Составим разность А и А1. Из этих условий следует, что С является дополнением А1 до Разность целых неотрицательных чисел находится единственным образом, так как разность есть мощность дополнения подмножеств до множества, а дополнение определяется единственным образом, то и разность целых неотрицательных чисел определяется единственным образом. Для вычитания не выполняются свойства коммутативности и ассоциативности. Вычитание суммы из числа. Умножение и деление в количественной теории Их свойства. Докажем это свойство, используя первое определение умножения. Так как произведение есть сумма одинаковых слагаемых, и сумма целых неотрицательных чисел всегда существует, то и произведение всегда существует. Так как сумма одинаковых слагаемых а взятых в раз определяется единственным образом, то и произведение находится единственным образом. Дано: А и Такое разбиение можно продемонстрировать на примере задач. Сколько карандашей в каждой коробке? В данной задаче рассмотрим множество, 12 элементов. Это множество разбивается на равночисленные подмножества и требуется узнать число элементов в каждом подмножестве. Это число можно найти делением 12 на 3, получаем что в каждой коробке по 4 карандаша. В коробке 12 карандашей, их нужно раздать учащимся по 3 карандаша каждому. Сколько учеников получат карандаши? В данной задаче множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Найти его можно делением 12 на 3. В ответе 4 ученика. На примере этих задач, что с теоретико-множественной точки зрения деление чисел оказывается связанным с разбиением множества на равночисленные попарно не пересекающиеся подмножества. С помощью этого разбиения можно решить две задачи: 1 отыскание числа элементов в каждом множество целых неотрицательных чисел и его свойства разбиения; 2 отыскание числа таких подмножеств. Определение частного можно дать дважды: 1 деление на равные части. Пусть а число элементов подмножества А, которое разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества, число которых - в. Тогда частным чисел а и в называется число с, обозначающее мощность каждого подмножества. Пусть множество А, содержащее а элементов, разбито на непересекающиеся равномощные подмножества, каждое из которых содержит в элементов. Частным чисел а и в является число с, указывающее на число полученных подмножеств. Если частное двух целых неотрицательных чисел существует, то оно находится единственным образом. Пусть существует 2 частных чисел а и в, т. Тогда по известному числу элементов в данном множестве и числу элементов в каждом подмножестве отыскиваются два числа, являющихся числом подмножеств. Следовательно, разбиение заданного множества проходит на не равномощные подмножества, а это противоречит определению операции деления. Следовательно, если частное существует, то находится единственным образом. Связь деления с умножением. Пусть а - это число элементов во множестве Данное множество разбито на в попарно непересекающихся равномощных подмножеств А1, А1…Ав. Если равны множества, то рано число элементов данных множеств. Деление на 0 невозможно. Если а это число элементов в данном множестве и множество не разбито на классы, то о числе полученных подмножеств и числе элементов в каждом подмножестве ничего нельзя сказать. Если число а это число элементов в данном множестве и множество разбито на пустые подмножества, но нельзя определить число таких пустых подмножеств, поэтому о делении на 0 сказать не возможно. Аксиоматическое построение множества натуральных чисел Требования к системе аксиом, аксиомы Пеано. При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила: 1 некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения; множество целых неотрицательных чисел и его свойства каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение. В нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий. В аксиомах раскрываются свойства основных понятий. Такие предложения называются теоремами. Их доказывают на основе аксиом и теорем, предшествующих данной. При аксиоматическом построении теории все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Основу такой теории составляет система аксиом, и к системе аксиом предъявляются особые требования: 1 система аксиом должна быть непротиворечивой. Систему аксиом называют непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимоисключающих друг друга предложения. Другими словами, нельзя вывести высказывание и отрицание данного высказывания, так чтобы они одновременно были истинными. Чтобы убедится в непротиворечивости системы аксиом достаточно построить модель этой системы. Система аксиом называется независимой, если никакие из аксиом этой системы не являются следствием других аксиом. Другими словами каждая аксиома этой системы не может быть выведена из остальных аксиом. Чтобы доказать независимость системы аксиом достаточно построить модель этой системы. При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом, но они должны быть равносильными. В качестве основного понятия при аксиоматическом построении системы натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за». Известными так же считаются понятия «множество», «элемент множества», правило логики. Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначается а - штрих. Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах: 1 во множестве натуральных чисел существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, данный элемент 1 единица.

См. также