Понятие матрицы виды матриц

Тема- матрицы и определители Вопросы- Понятие матрицы и виды матриц Квадратные матрицы их определ Работа добавлена понятие матрицы виды матриц сайт samzan. Гробер «Высшая математика» для студентов экономических, технических, естественнонаучных специальностей вузов. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ §1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1. Каждый элемент матрицы а ik имеет два индекса: i — номер строки и k номер столбца. Матрица называется КВАДРАТНОЙ порядка п, если она состоит из п строк и п столбцов. Матрица понятие матрицы виды матриц 1 х п называется МАТРИЦЕЙ-СТРОКОЙа матрица размера m х 1 - МАТРИЦЕЙ-СТОЛБЦОМ. НУЛЕВОЙ матрицей заданного размера называется матрица, все элементы которой равны нулю. ТРАНСПОНИРОВАННОЙ для матрицы А называется матрица А Тстроки которой являются столбцами матрицы А, а столбцы — строками матрицы УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ Иными словами, для получения элемента, стоящего в i -ой строке результирующей матрицы и в k -ом её столбце, следует вычислить сумму попарных произведений элементов i -ой строки матрицы А на k -ый столбец матрицы Найти произведение матрицы В самом определении произведения матриц заложено, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Это — условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, матрицы перемножить нельзя. Кроме того, когда существуют оба произведения, то чаще всего они не совпадают, т. Докажем 2 : Свойство 3 доказывается понятие матрицы виды матриц, а 4 следует из определения умножения матриц. Вычислить определитель матрицы РЕШЕНИЕ. Минором элемента называется определитель M ikсоставленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы А i -ой строки и k - ro столбца. Определителем 3-го порядка матрицы А называется сумма произведений понятие матрицы виды матриц первой строки матрицы на их алгебраические дополнения: ПРИМЕР 3. Вычислить определитель матрицы РЕШЕНИЕ. Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-ой строки матрицы: Вычисляем искомый определитель: Далее индуктивно вводится понятие определителей понятие матрицы виды матриц высоких порядков. Определителем n -го порядка называется число СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Изложенные ниже свойства справедливы для любого n -го порядка. Определитель не меняется при транспонировании, т. Поэтому в дальнейшем большинство свойств формулируется и доказывается для строк. Если две строки определителя поменять местами, то определитель меняет знак. Если все элементы какой-либо строки или столбца равны нулю, то определитель понятие матрицы виды матриц нулю. Если все элементы какой-либо строки столбца имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя. Если в определителе две строки два столбца одинаковы или пропорциональны, то понятие матрицы виды матриц равен нулю. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки столбца прибавить элементы другой строки столбцаумноженные на одно и то же число. Сумма произведений элементов любой строки столбца на свои алгебраические дополнения равна самому определителю. Сумма произведений любой строки столбца на алгебраические дополнения другой строки столбца равна 0. Если нулю равны все элементы другой строки, то, поменяв ее местами с первой что может повлиять лишь на знак определителямы сведем дело к предыдущему. Свойства 46 читатель докажет самостоятельно, используя понятие определителя. Если поменять местами одинаковые строки, то, с одной стороны, определитель не изменится, а с другой — на понятие матрицы виды матриц св. Док-во 7 следует теперь из 6 и 5 Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали Доказательство. Раскладывая по элементам 1-го столбца, получаем произведение ведущего элемента а 11 на определитель такого же вида n - l - ro порядка с ведущим элементом а 22. Раскладывая этот определитель по элементам 1-го столбца, имеем произведение а 22 на определитель такого же вида понятие матрицы виды матриц -2 -го порядка. Сформулируем без доказательства еще один важный факт. Если А и В - понятие матрицы виды матриц, то 1. Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т. Все остальные числа в результирующей матрице равны нулю на основании второй части свойства 8. Поэтому, Совершенно аналогично доказывается, что. Это завершает доказательство достаточности. Дано, что матрица А понятие матрицы виды матриц существует. Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы: Находим определитель матрицы А: Теперь записываем обратную матрицу ПРОВЕРКА: Значит, матрица А -1 найдена, верно. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе.

См. также