Приведение уравнения кривой к каноническому виду

В главеприведение уравнения кривой к каноническому виду рассматривались поверхности второго порядка, было выписано их общее уравнениеа дальше для каждой поверхности использовалась своя прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности имело канонический вид. В этом разделе мы выясним, как по общему уравнению найти такую систему координат. Результаты этого раздела используются и для приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Достаточно будет во всех рассуждениях отбросить третью координату. Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка, коэффициенты в котором обозначены специальным образом 19. Выделим приведение уравнения кривой к каноническому виду часть выражения, стоящего в уравнении слева, Эта матрица называется матрицей квадратичной формы. Она является симметричной, то естьили, другими словами. Следует обратить внимание на то, как эта матрица составлена. На диагонали у нее стоят коэффициенты при квадратах переменных, а в остальных местах - половины коэффициентов при произведениях переменных. Исходная система координат является прямоугольной, поэтому скалярное произведение векторов с координатными столбцамизадается формулой. Сформулируем две теоремы, позволяющие пользоваться приведенным ниже алгоритмом. Если матрица - симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов. Пусть - матрица квадратичной формы. По сформулированной приведение уравнения кривой к каноническому виду у нее существует ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим их,и пусть эти векторы имеют координаты Выберем новую систему координат так, что начало координат не изменяется, а новые базисные векторы, задают направления новых координатных осей, рис. Система координат Тогда координаты точки являются координатами ее радиус-вектора и, следовательно, при замене базиса меняются по формуле Пусть собственные векторы, матрицы квадратичной формыобразующие ортонормированный базис, соответствуют собственным числам. Тогда в системе координат квадратичная форма принимает вид Если мы из равенства выпишем выражение, через новые переменные, и подставим в уравнението обнаружим, что квадратичная приведение уравнения кривой к каноническому виду часть и линейная часть преобразуются независимо друг от друга. В результате уравнение в системе координат имеет вид 19. Пусть все собственные числа, приведение уравнения кривой к каноническому виду от нуля. В уравнении выделим полные квадраты Выполним параллельный перенос системы координатвзяв за новое начало системы координат приведение уравнения кривой к каноническому виду см. Тогда в новой системе координат уравнение запишется в виде Если числа, отрицательны, то ни одна приведение уравнения кривой к каноническому виду пространства не удовлетворяет этому уравнению. Говорят, что оно определяет мнимый эллипсоид. Если приведение уравнения кривой к каноническому виду, положительны, то уравнение является каноническим уравнением эллипсоида. Если одно приведение уравнения кривой к каноническому виду чисел, отрицательно, а остальные положительны, то после переименования осей получим каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Если одно из чисел, положительно, остальные отрицательны, то после переименования осей получим каноническое уравнение двуполостного гиперболоида. Если все числа, положительны, то только начало координат удовлетворяет этому уравнению. Поверхность выродилась в точку. Если одно из чисел, отрицательно, а два положительны, то после переименования осей получим каноническое уравнение конуса. Если же два числа отрицательны или все три отрицательны, то, умножив обе части уравнения наполучим случай или случай. Пусть одно из чисел, равно нулю, а два других отличны от нуля. Тогда в уравнении выделим полные квадраты по переменнымПоделим обе части уравнения на и выполним параллельный перенос осей координат, взяв за новое начало координат точку. Получим уравнение Если, получим каноническое уравнение гиперболического параболоида. Если числа и отрицательны или, то сменим направление у оси на противоположное и получим либо случайлибо случай. Тогда поверхность является цилиндрической, образующие которой параллельны осиа направляющей служит кривая на плоскости с уравнением Анализ поверхностей с таким уравнением предоставляем читателю. Пусть только одно из чисел, отлично от нуля. Тогда в уравнении выделим полный квадрат по переменному Пусть хотя бы одно из чиселотлично от нуля. Тогда на плоскости возьмем две перпендикулярные прямые и. Возьмем новую систему координат, у которой начало будет в точкеось направлена по осиось направлена вдоль второй прямой, а ось направлена вдоль первой прямой. Тогда уравнение примет вид Это - уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны осиа направляющей служит кривая на плоскости с уравнением Если число справа отрицательно, то ни одна точка пространства уравнению не удовлетворяет. Итак, получен алгоритм, позволяющий установить, какая поверхность задается уравнением второго порядка и каково ее положение в пространстве. Находим два других корня характеристического уравнения и. Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений Решая ее находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в качестве собственного вектора можно взять. Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений Отсюда находим собственный вектор. Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений Отсюда находим собственный вектор. Легко проверить, чтото есть собственные векторы попарно ортогональны. Их длины равны соответственно. Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты Старые координаты связаны с новыми уравнениемто есть 19. Квадратичная форма примет вид, в котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах будут служить собственные числа Рис. Система координат В новой системе координат рис. Его центр находится в точкедве вещественные оси параллельны векторам, вещественные полуоси равны. Мнимая ось параллельна векторумнимая полуось равна. Изображение гиперболоида приведено на рисунке 19.

См. также