Решение уравнений с двойным модулем

Решение уравнений с двойным модулем с модулем Уравнения с модулем Абсолютной величиной или модулем числа х называется само это число, если оно положительно или равно нулю, и противоположное число, если х отрицательно, то есть Геометрически число равно решение уравнений с двойным модулем от начала координат до точки, изображающей на числовой оси число х. Простейшее уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, имеет вид1 где f x — функция переменной х, а — заданное действительное число. Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: и. В результате получаем два квадратных уравнения:. Каждое из этих решение уравнений с двойным модулем является корнем исходного уравнения. Такие уравнения можно решать двумя способами. Первый способ — он применяется в том случае, когда функция проще, чем функция. Еслито выполнено неравенство и уравнение примет вид ; еслито выполнено равенство и уравнение примет вид. И, наоборот, если итоа если ито опять. Тогда уравнение равносильно совокупности двух систем Пример 2. Пользуясь определением модуля, получаем, что данное уравнение равносильно совокупности двух систем: Следовательно, решение системы Ответ:. При решении уравнения можно поступить и так: решить совокупность уравнений а затем просто сделать проверку. Второй способ — он применяется обычно, если функция проще, чем. Заметим, что уравнение не имеет решений, если. Если жето еслито уравнение имеет вида еслито уравнение имеет вид. Отсюда следует, что Пример 3. Данное уравнение равносильно системе: Ответ: 3. Так как обе части уравнения неотрицательны, то получаем следующее условие равносильности Пример 4. Решение: Воспользуемся условием равносильности: Ответ :. Для решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, используют обычно следующие методы : 1 раскрытие модуля, исходя из определения; 2 возведение обеих частей уравнения в квадрат. Если представить уравнение в видето наиболее простым способом решения будет способ возведения обеих частей уравнения в квадрат. Решение уравнений с двойным модулем как обе части этого уравнения неотрицательны, то это уравнение равносильно следующему уравнениюкоторое путем преобразований сводится к квадратному. А лгоритм метода разбиения на промежутки 1 находят те значения переменной, при которых входящие в уравнение 2 модули равны нулю; 2 область определения уравнения разбивают этими точками на промежутки; 3 на каждом из построенных промежутков определяют знак выражений, стоящих под знаком модуля; 4 на каждом промежутке раскрывают модуль и решают получаемое уравнение; 5 проверяют, принадлежат ли найденные решения уравнения рассматриваемому промежутку: если принадлежат, их включают в ответ, если нет — то отбрасывают. Для решения данного уравнения, нужно избавиться от знаков абсолютной величины, а сделать это можно, лишь зная, положительны или отрицательны скрывающиеся за знаками модуля выражения. Поэтому нужно нанести на числовую ось точки, где выражения, от которых берутся абсолютные величины, меняют знак. Этими точками числовая прямая разбивается ровно на столько частей, сколько решение уравнений с двойным модулем рассмотреть случаев. В данном примере их три. То есть уравнение имеет целый отрезок корней. Это связано со спецификой возникающих при решении систем — они состоят из уравнения и неравенства. И если уравнение обращается в тождество, то неизвестное должно удовлетворять только неравенству; в результате получаем целый отрезок решений.

См. также