Случайные величины и их характеристики

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Хпринимающей конечное число значений х i с вероятностями р iназывается сумма: 6 а Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f x : 6 б Несобственный интеграл 6 б предполагается абсолютно сходящимся в противном случае говорят, что математическое ожидание М Х не существует. Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины Его размерность совпадает с размерностью случайной величины. Свойства математического ожидания: 7 Дисперсия. Дисперсией случайной величины Х называется число: 8 Дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины Х относительно ее среднего значения М Размерность дисперсии равна размерности случайной величины в квадрате. Свойства дисперсии: 10 Среднее квадратичное отклонение: 11 Так как размерность среднего квадратичного отклонения та же, что и у случайной величины, оно чаще, чем дисперсия, используется как мера рассеяния. Понятия математического ожидания и дисперсии являются частными случаями более общего понятия для числовых характеристик случайных величин — моментов распределения. Моменты распределения случайной величины вводятся как математические ожидания некоторых простейших функций от случайной величины. Так, моментом порядка k относительно точки х 0 называется математическое ожидание М Х — х 0 k. Теперь очевидно, что дисперсия — это центральный момент второго порядка: 16 Асимметрия. Центральный момент третьего порядка: 17 служит для оценки асимметрии распределения. Поэтому, если центральный момент третьего порядка отличен от нуля, то распределение не может быть симметричным. Величину асимметрии оценивают с помощью безразмерного коэффициента асимметрии: 18 Знак коэффициента асимметрии 18 случайные величины их характеристики на правостороннюю или левостороннюю асимметрию рис. Центральный момент четвертого порядка: 19 служит для оценки так называемого эксцесса, определяющего степень крутости островершинности кривой распределения вблизи центра распределения по отношению к кривой нормального распределения. Так как для нормального распределениято в качестве эксцесса случайные величины их характеристики величина: 20 На рис. Кривые, более островершинные, чем нормальная, имеют положительный эксцесс, более плосковершинные — отрицательный. Кривые распределения с различной степенью крутости эксцессом. Моменты более высоких порядков в инженерных приложениях математической статистики обычно не применяются. Мода дискретной случайной величины — это ее наиболее вероятное значение. Модой непрерывной случайной величиныназывается ее значение, при котором плотность вероятности максимальна рис. Если кривая распределения имеет один максимум, то распределение называется унимодальным. Если кривая распределения имеет более одного максимума, то распределение называется полимодальным. Иногда встречаются распределения, кривые которых имеют не максимум, а случайные величины их характеристики. Такие распределения называются антимодальными. В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, для модального, т. Случайные величины их характеристики случайной величины Х — это ее случайные величины их характеристики Медля которого имеет место равенство: т. Геометрически медиана — это абсцисса точки, в которой площадь под кривой распределения делится пополам рис. В случае симметричного модального распределения медиана, мода и математическое ожидание совпадают.

См. также