Виды переходных процессов

Электротехника: Переходные процессы Виды переходных процессов Владимир Николаевич Переходные процессы в линейных электрических цепях Введение Под переходным динамическим, нестационарным процессом виды переходных процессов режимом в электрических цепях понимается процесс перехода цепи из одного установившегося состояния режима в другое. При установившихся, или стационарных, режимах в цепях постоянного тока напряжения и токи неизменны во времени, а в цепях переменного тока они представляют виды переходных процессов периодические функции времени. Установившиеся режимы при заданных виды переходных процессов неизменных параметрах цепи полностью определяются только источником энергии. Следовательно, источники постоянного напряжения или тока создают в цепи постоянный ток, а источники переменного напряжения или тока — переменный виды переходных процессов той же частоты, что и частота источника энергии. Переходные процессы возникают при любых изменениях режима электрической цепи: при подключении и отключении цепи, при изменении нагрузки, при возникновении аварийных режимов короткое замыкание, обрыв провода виды переходных процессов т. Изменения в электрической цепи можно представить в виде тех или иных переключений, называемых в общем случае коммутацией. Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода от энергетического состояния, соответствующего до коммутационному режиму, виды переходных процессов энергетическому состоянию, соответствующему после коммутационному режиму. Переходные процессы обычно быстро протекающие: длительность их составляет десятые, сотые, а иногда и миллиардные доли секунды. Сравнительно редко длительность переходных процессов достигает секунд и десятков секунд. Тем не менее изучение переходных процессов весьма важно, так как позволяет установить, как деформируется по форме и амплитуде сигнал, выявить превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического виды переходных процессов, а также определять продолжительность переходного процесса. С другой стороны, работа многих электротехнических устройств, особенно устройств промышленной электроники, основана на переходных процессах. Например, в электрических нагревательных печах качество выпускаемого материала зависит от характера протекания переходного процесса. Чрезмерно быстрое нагревание может стать причиной брака, а чрезмерно медленное отрицательно оказывается на качестве материала и приводит к снижению производительности. Законы коммутации В общем случае в электрической цепи переходные процессы могут возникать, если в цепи имеются индуктивные и емкостные элементы, обладающие способностью накапливать или отдавать энергию магнитного или электрического поля. В момент коммутации, когда начинается переходный процесс, происходит перераспределение энергии между индуктивными, емкостными элементами цепи и внешними источниками энергии, подключенными к цепи. При этом часть энергия безвозвратно преобразуется в другие виды энергий например, в тепловую на активном сопротивлении. После окончания переходного процесса устанавливается новый установившийся виды переходных процессов, который определяется только внешними источниками энергии. При отключении внешних источников энергии переходный процесс может возникать за счет энергии электромагнитного поля, накопленной до начала переходного режима в индуктивных и емкостных элементах цепи. Изменения энергии магнитного и электрического полей не могут виды переходных процессов мгновенно, и, следовательно, не могут мгновенно протекать процессы в момент коммутации. Таким образом, переходные процессы не могут протекать мгновенно, так как невозможно в принципе мгновенно изменять энергию, накопленную в электромагнитном поле цепи. Практически же переходные процессы являются быстропротекающими, их длительность обычно составляет доли секунды. Так как энергия магнитного W М и электрического полей W Э описывается выражениямито ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться мгновенно. На этом основаны законы коммутации. Виды переходных процессов закон коммутации состоит в том, что ток в ветви с индуктивным элементом в начальный момент времени после коммутации имеет то же значение, какое он имел непосредственно перед коммутацией, а затем с этого значения он начинает плавно изменяться. Виды переходных процессов в электрической цепи возможны скачки напряжений на индуктивностях и токов на емкостях. В электрических цепях с резистивными элементами энергия электромагнитного поля не запасается, вследствие чего в них переходные процессы не возникают, т. В действительности любой элемент цепи обладает каким-то сопротивлением r, индуктивностью L и емкостью С, т. Переходные процессы в реальных электротехнических устройствах можно ускорять или замедлять путем подбора соответствующих параметров элементов цепей, а также за счет виды переходных процессов специальных устройств. Математические виды переходных процессов анализа переходных процессов Задача исследования переходных процессов заключается в том, чтобы выяснить, по какому закону и как долго будет наблюдаться заметное отклонение токов в ветвях и напряжений на участках цепи от их установившихся значений. Установившийся режим до коммутации рассчитывают обычно в предположении, что к моменту коммутации в цепи закончился предыдущий переходный виды переходных процессов. Хотя иногда приходится анализировать переходные процессы, возникающие в цепи, когда предыдущий переходный процесс, вызванный прежними коммутациями, еще не закончился. Но это не изменяет теоретическую постановку задачи. Анализ переходных процессов производят путем решения дифференциальных уравнений, составленных для исследуемой электрической виды переходных процессов на основе законов Кирхгофа или метода контурных токов. До коммутации в цепи существовали сопротивления R 0 и R, после коммутации остается только Требуется определить переходный ток i. Электрическое состояние схемы после коммутации описывается интегродифференциальным уравнением, записанным на основании II закона Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений: 5. Поскольку в правой части дифференциальных уравнений, описывающих электрическое состояние цепей, обычно находится напряжение или ток источника внешняя вынуждающая силато частное решение находят из анализа установившегося режима после коммутации. Отсюда этот режим называют принужденным и соответственно токи или напряжения, виды переходных процессов в данном режиме, называют принужденными. Расчет принужденного режима, когда внешние источники вырабатывают постоянную или синусоидальную э. Однородное дифференциальное уравнение получают из выражения 5. Физически это означает, что исследуемая виды переходных процессов "освобождается" от внешней вынуждающей силы. Токи или напряжения, найденные при решении однородного дифференциального уравнения, виды переходных процессов свободными. Свободные токи и напряжения являются результатом действия внутренних источников схемы: э. Виды переходных процессов анализ переходного процесса может быть представлен как результат наложения виды переходных процессов режимов: принужденного и свободного. Заметим, что физически существует только переходные токи и виды переходных процессов, а разложение их на свободные и принужденные составляющие является математическим приемом, позволяющим упростить расчет переходных процессов в линейных цепях. Напомним, что виды переходных процессов суперпозиции применим лишь к линейным цепям. Существуют различные методы решения однородного дифференциального уравнения, полученного из выражения 5. Решение находят виды переходных процессов виде суммы экспонент: 5. После подстановки экспонент A k · e p kt в исходное уравнение 5. Постоянные интегрирования A 1, A 2 находят из начальных условий, которые определяют с помощью законов виды переходных процессов. Различают независимые и зависимые после коммутационные начальные условия. К первым относят значения токов через индуктивности и значения напряжений на емкостях, известные из до коммутационного режима работы цепи. Классический метод анализа применяют обычно для анализа процессов в несложных электрических цепях. Алгоритм расчета переходного процесса классическим методом Для анализа переходного процесса предварительно следует привести схему к минимальному числу накопителей энергии, исключив параллельные и последовательные соединения однотипных реактивных элементов индуктивностей или емкостей. Система интегродифференциальных уравнений, составленных в соответствии с законами Кирхгофа или методом контурных токов, может быть сведена путем подстановки к одному дифференциальному уравнению, которое используется для составления характеристического уравнения. Порядок дифференциального, следовательно, и характеристического уравнения зависит от числа реактивных элементов приведенной схемы. Главная трудность в решения задачи классическим методом для уравнений высоких порядков состоит в отыскании корней характеристического уравнения и постоянных интегрирования. Поэтому для решения уравнений виды переходных процессов выше второго применяют другие методы, в частности операторный метод, основанный на применении преобразования Лапласа исключающий трудоемкую процедуру отыскания постоянных интегрирования. Для практических целей при анализе переходных процессов в любой схеме классическим методом может быть рекомендован следующий алгоритм. Определить принужденные токи и напряжения. Рассчитать режим до коммутации. Определить токи в ветвях с индуктивностью и напряжения на конденсаторах. Значения этих величин в момент коммутации является независимыми начальными условиями. Алгебраизировать данные уравнения, получить характеристическое уравнение и найти его корни. Существуют приемы, упрощающие операцию отыскания корней характеристического уравнения, например, приравнивание нулю входного операторного сопротивления цепи, которое получается путем замены в выражении комплексного сопротивления цепи множителя "jω" на оператор "р". Записать общие выражения для искомых напряжений и токов в соответствии с видом корней характеристического уравнения. Переписать величины, полученные в п. Определить необходимые зависимые начальные условия, используя независимые начальные условия. Подставив начальные условия в уравнения п. Записать законы виды переходных процессов искомых токов и напряжений. Переходные процессы в электрических цепях с последовательно соединенными резисторами и катушками В данном разделе предполагается не только практическое знакомство с классическим методом расчета переходных процессов, но и с особенностями самих процессов в рассматриваемых задачах. Короткое замыкание в цепи с резистором и катушкой Рис. Найдем установившийся ток i после коммутации. Для определения свободной составляющей тока запишем по второму закону Кирхгофа уравнение электрического состояния цепи после коммутации:. В момент коммутации эта э. На основании изложенного можно сделать следующие виды переходных процессов. При коротком замыкании в рассматриваемой цепи ток в ней изменяется по экспоненциальному закону, уменьшаясь от начального значения до нуля. Скорость изменения тока определяется постоянной времени цепи, которая равна индуктивности катушки, деленной на активное сопротивление цепи. С энергетической виды переходных процессов зрения рассматриваемый переходный процесс характеризуется расходом энергии магнитного поля катушки на тепловые потери в резисторе. Следует отметить, что сопротивление резистора влияет не на количество выделенной теплоты W, а на начальное значение напряжения катушки и длительность процесса. Включение цепи с резистором и катушкой на постоянное напряжение Рис. Кривые изменения токов i, i y, i св и напряжения на катушке u L показаны на рис. При включении рассматриваемого контура под постоянное напряжение ток в нем нарастает от нуля до установившегося значения. Скорость нарастания тока изменяется по экспоненте с отрицательным показателем. Включение цепи с резистором и катушкой на синусоидальное напряжение Рис. Зависимости переходного тока от времени при различных значениях разностей ψ - φ показаны виды переходных процессов рис. Их анализ позволяет сделать следующие выводы. Разряд конденсатора на резистор Рассмотрим переходный процесс при коротком замыкании в цепи с конденсатором и резистором рис. При расчете переходных процессов в цепях с конденсатором часто удобнее отыскать сначала не ток, а напряжение на конденсаторе u Cа затем учитывая, чтонайти ток через конденсатор. Виды переходных процессов запишем уравнение по второму закону Кирхгофа в виде:. Переходный ток в цепи. С энергетической точки зрения переходный процесс характеризуется переходом энергии электрического поля конденсатора в тепловую энергию в резисторе. Следует отметить; что сопротивление резистора влияет не на количество выделенной теплоты, а на начальное значение тока и длительность разряда. Включение цепи с резистором и конденсатором на постоянное напряжение заряд конденсатора Из схемы, приведенной на рис. Зависимости напряжений и токов от времени показаны на рис. Из них видно, что напряжение на конденсаторе возрастает по экспоненциальному закону от нуля до напряжения источника, а ток уменьшается от начального значения до нуля также по экспоненте. Здесь как и в п. Включение цепи с резистором и конденсатором на синусоидальное напряжение Рис. Установившаяся составляющая напряжения на конденсаторе см. Переходное напряжение на конденсаторе. Окончательно напряжение на конденсаторе можно записать в виде. Зависимости переходного напряжения на виды переходных процессов от времени при различных значениях разностей ψ - φ показаны на рис. Их анализ позволяет сделать следующие выводы. В цепи сразу устанавливается режим рис. Разряд конденсатора на цепь с резистором и катушкой Рис. Так как источники в цепи отсутствуют, то установившиеся составляющие решений равны нулю. Решение будет состоять из одной свободной составляющей. Учитывая, чтополучаем дифференциальное уравнение второго порядка для свободной составляющей напряжения. Характеристическое уравнение при этом имеет вид:. Характер электромагнитных процессов в контуре зависит от соотношения параметров R, L, Виды переходных процессов, входящих в выражение виды переходных процессов корней характеристического уравнения. В зависимости от знака подкоренного выражения корни могут быть вещественными или комплексно-сопряженными. Они определяют характер свободных составляющих переходных токов и напряжений. Виды переходных процессов разряд конденсатора на катушку и резистор Рассмотрим процесс разряда конденсатора на резистор R и катушку Если параметры контура из резистора, катушки и конденсатора удовлетворяют условию илито корни характеристического уравнения контура вещественные, различные, т. Установившиеся составляющие напряжения на конденсаторе и тока равны нулю. Определим из начальных условий постоянные интегрирования А 1 и А 2. Графики виды переходных процессов тока и напряжения виды переходных процессов времени, показанные на рис. Апериодическим называется такой разряд, виды переходных процессов котором конденсатор все время разряжается, т. Апериодический разряд конденсатора в цепи R, L, С возникает при вещественных, отрицательных и неравных корнях виды переходных процессов уравнения. При апериодическом разряде напряжение на конденсаторе уменьшается от начального значения до нуля, а ток сначала возрастает по модулю, затем уменьшается, проходя через максимальное значение. Напряжение на катушке уменьшается от начального значения, проходит через нулевое значение, изменяя знак и, достигнув наибольшего значения, уменьшается до нуля. Переходный процесс получается апериодическим, но граничным с колебательным процессом. Зависимости i, u C, u L такие же, как для апериодического разряда. Посколькуто можно ввести обозначения. Свободная составляющая переходного напряжения при комплексно-сопряженных корнях см. Они представляют собой затухающие синусоиды. Скорость затухания колебаний оценивают декрементом колебаний. Декремент колебания - это постоянная, зависящая от параметров R, L, С и равная отношению амплитуд переходных параметров, отстающих друг от друга на период колебания Т 0, например:. Часто пользуются логарифмическим декрементом колебания:. Период этих колебаний дается формулой Томпсонаа частота незатухающих колебаний. Включение контура из конденсатора, резистора, катушки на постоянное напряжение Рис. Характеристическое уравнение и вид его корней будут такими виды переходных процессов, как и в цепи, рассмотренной в п. Апериодический процесс Между разрядом конденсатора на резистор с катушкой и включением на постоянное напряжение контура см. Виды переходных процессов же, как при разряде конденсатора, установившаяся составляющая тока равна нулю. Следовательно, виды переходных процессов значение свободной составляющей напряжения на конденсаторе Рис. То есть знаки постоянных интегрирования А 1 и А 2 в отличие от рассмотренного в п. В этом случае переходное напряжение на конденсаторе, ток и напряжение на катушке определяются по формулам: ;. Колебательный процесс Включение рассматриваемого контура на виды переходных процессов напряжение может сопровождаться колебательным переходным процессом. При этом в отличие от процесса разряда конденсатора см. Переходные напряжения и ток приобретут вид: Рис. Кривые u C t и i t показаны на рис. Кривая тока отображает затухающие колебания относительно виды переходных процессов значения, а напряжения на конденсаторе — относительно установившегося значения. Следует отметить, что за время переходного процесса контура часть энергии источника переходит в тепло, а другая часть запасается в электрическом поле конденсатора в виде: т.

См. также